八上数学最难的《辅助线》，反复就考这 19 个！

# 八上数学《辅助线》19个高频考法梳理（含作法+场景+例题思路） 八上数学几何的核心难点是**辅助线构造**，其本质是“补全图形条件、搭建已知与未知的桥梁”。以下19个考法覆盖全等三角形、等腰/直角三角形、多边形等核心模块，均为月考、期中高频考点，按“应用场景分类”整理，方便针对性突破。 ## 一、三角形基础辅助线（3个）—— 补全“特殊条件” ### 1. 作高（最基础，适用“求面积、构造直角、证线段垂直”） - **适用场景**：    ① 已知三角形三边/两边及夹角，求面积（需高）；    ② 证线段垂直（如“证AD⊥BC”，可作AD⊥BC，转化为证线段相等）；    ③ 钝角三角形中，需用“高在外部”的特性（如证钝角三角形斜边大于直角边）。   - **作法口诀**：“遇面积、遇垂直，顶点向边作垂线”。   - **例题思路**：    已知△ABC中，AB=AC，BD=CD，证AD平分∠BAC → 作AD⊥BC（高），先证Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），再得∠BAD=∠CAD。   - **避坑提醒**：钝角三角形的高可能在外部（如△ABC中∠A为钝角，作BC边上的高需延长BC，从A向延长线作垂线）。 ### 2. 连中线（适用“有中点、中线，需转移线段/角”） - **适用场景**：    ① 已知三角形一边中点（如“D是BC中点”），需用中线性质；    ② 证线段关系（如“证AB+AC>2AD”，AD为中线）。   - **作法口诀**：“遇中点、有中线，直接连接构中线”。   - **例题思路**：    已知D是△ABC的BC中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围 → 连AD（中线），延长AD至E使DE=AD（后续“倍长中线”考法），证△ABD≌△ECD，转化为“在△AEC中，AC-EC<AE<AC+EC”（EC=AB=5），得1<AD<4。 ### 3. 遇中点作中位线（八上衔接考点，适用“证线段平行/倍分”） - **适用场景**：    ① 已知三角形两边中点（如“D是AB中点，E是AC中点”）；    ② 证线段平行（如“证DE∥BC”）或倍分关系（如“证DE=½BC”）。   - **作法口诀**：“两边中点不用愁，连接就是中位线”。   - **例题思路**：    已知D、E分别是△ABC中AB、AC的中点，F是BC延长线上一点，∠AED=∠F → 连DE（中位线），得DE∥BC（∠AED=∠ACB），再证∠ACB=∠F，得CF=CE。 ## 二、全等三角形辅助线（5个）—— 构造“全等条件” ### 4. 倍长中线（高频！适用“有中线、中点，需构造全等转移边/角”） - **适用场景**：    ① 已知中线（如AD是△ABC中线），需证线段和差、角相等；    ② 中点在一条线段上，需“延长至2倍”构造全等（核心是“转移中线对应的边和角”）。   - **作法口诀**：“遇中线，倍延长，构造全等把线换”（延长中线至E，使DE=中线长，连端点）。   - **例题思路**：    已知AD是△ABC中线，∠BAD=∠CAD，证AB=AC → 延长AD至E使DE=AD，连BE，证△ADC≌△EDB（SAS：AD=ED，∠ADC=∠EDB，BD=CD），得AC=BE、∠CAD=∠BED；又∠BAD=∠CAD，故∠BAD=∠BED，得AB=BE，最终AB=AC。 ### 5. 截长补短（必考！适用“证线段和差”，如“AB=CD+EF”“AB-CD=EF”） - **适用场景**：    ① 求证“一条线段=两条线段之和”（截长法）；    ② 求证“一条线段=两条线段之差”（补短法）。   - **作法口诀**：    - 截长：在长线段上截一段=短线段，证剩余部分=另一条短线段；    - 补短：延长短线段至“等于长线段”，证延长后的线段=另一条短线段。   - **例题思路**：    已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，求点D到AB的距离 → 用“截长法”：在AB上截AE=AC，证△ACD≌△AED（SAS），得CD=DE（CD=BC-BD=4），故DE=4（即D到AB的距离）。 ### 6. 角平分线作垂线（适用“有角平分线，需用‘角平分线性质’”） - **适用场景**：    ① 已知角平分线（如AD平分∠BAC），需证“角平分线上的点到两边距离相等”；    ② 证线段相等（如“证BD=CD”，D在角平分线上，可作DE⊥AB、DF⊥AC）。   - **作法口诀**：“角平分线，作垂线，距离相等是关键”。   - **例题思路**：    已知AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，证AB=AC → 作DB⊥AB、DC⊥AC（已给），得DB=DC（角平分线性质），再证Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），得AB=AC。 ### 7. 角平分线截等线段（适用“有角平分线+线段，需构造等腰/全等”） - **适用场景**：    ① 已知角平分线（如AD平分∠BAC），且有一条边过角平分线上的点（如“AB上有一点E”）；    ② 证等腰三角形（如“证AE=DE”）。   - **作法口诀**：“角平分线，截等长，构造等腰或全等”（在角的两边截“AE=AF”，连DE/DF）。   - **例题思路**：    已知AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，证AE=DE → 在AB上截AF=AE，证△AED≌△AFD（SAS），但更简思路：由DE∥AC得∠ADE=∠CAD，又∠EAD=∠CAD，故∠ADE=∠EAD，得AE=DE（等腰）。 ### 8. 构造公共边/公共角（适用“缺全等条件，需补‘公共元素’”） - **适用场景**：    ① 证两个三角形全等，缺“一边”或“一角”，且可通过“添线”构造公共边/角；    ② 图形中已有部分相等条件（如∠A=∠A，AB=AC，缺另一边）。   - **作法口诀**：“缺边缺角别着急，添线构造公共的”。   - **例题思路**：    已知AB=AC，∠B=∠C，证BD=CE → 连BC（公共边），先证△ABC是等腰（AB=AC），得∠ABC=∠ACB，再证∠DBC=∠ECB，最后证△DBC≌△ECB（ASA），得BD=CE。 ## 三、等腰/等边三角形辅助线（4个）—— 用“三线合一”核心性质 ### 9. 等腰三角形作“三线合一”辅助线（必考！适用“等腰+底边相关”） - **适用场景**：    ① 已知等腰三角形（AB=AC），需证“底边中线=底边高=顶角平分线”；    ② 证等腰三角形（如“证AB=AC”，可作AD⊥BC，证BD=CD）。   - **作法口诀**：“等腰三角找三线，底边中点、顶角分，作高就能全实现”。   - **例题思路**：    已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，证AD⊥BC → 用“三线合一”：直接由AB=AC、BD=CD，得AD⊥BC（无需全等，直接用性质）。   - **避坑提醒**：“三线合一”仅适用于**等腰三角形的底边**，腰上的中线/高/角平分线不一定重合。 ### 10. 等边三角形作高（适用“等边+求边长/高/面积”） - **适用场景**：    ① 已知等边三角形边长，求高或面积（高=½边长×√3）；    ② 证30°角（等边三角形的高将三角形分成两个含30°的直角三角形）。   - **作法口诀**：“等边三角作高线，分成两个三十角（直角三角形）”。   - **例题思路**：    已知等边△ABC边长为4，求面积 → 作AD⊥BC（高），得BD=2（BC=4），由勾股定理得AD=√(4²-2²)=2√3，面积=½×4×2√3=4√3。 ### 11. 构造等腰三角形（适用“遇角平分线+平行线”） - **适用场景**：    ① 已知角平分线（AD平分∠BAC），且有平行线（DE∥AB）；    ② 需证线段相等（如“证DE=AE”）。   - **作法口诀**：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”。   - **例题思路**：    已知AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，证四边形AEDF是菱形 → 由DE∥AC、DF∥AB得平行四边形AEDF；再由AD平分∠BAC得∠EAD=∠FAD，又DE∥AC得∠EDA=∠FAD，故∠EAD=∠EDA，得AE=DE，平行四边形变菱形。 ### 12. 等腰直角三角形作斜边中线（适用“等腰直角+证线段相等/垂直”） - **适用场景**：    ① 已知等腰直角三角形（如∠ACB=90°，AC=BC），需证斜边相关性质；    ② 证线段垂直（如“证CD⊥AB”，CD是斜边中线）。   - **作法口诀**：“等腰直角斜边中线，等于斜边一半，还能证垂直”。   - **例题思路**：    已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB中点，证CD=½AB且CD⊥AB → 连CD（斜边中线），证△ACD≌△BCD（SSS：AC=BC，AD=BD，CD=CD），得∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°，故CD⊥AB；又由勾股定理得AB=√2AC，CD=√(AC²-AD²)=½AB。 ## 四、直角三角形辅助线（3个）—— 用“HL、斜边中线、30°角”性质 ### 13. 斜边中线（适用“直角三角形+证线段相等/倍分”） - **适用场景**：    ① 已知直角三角形（∠ACB=90°），需证“斜边中线=½斜边”；    ② 证线段相等（如“证CD=AD=BD”，D是AB中点）。   - **作法口诀**：“直角三角斜边点，连接中线等一半”。   - **例题思路**：    已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，∠A=30°，证BC=½AB → 连CD（斜边中线），得CD=½AB=AD=BD；又∠A=30°，故∠ACD=30°，∠BCD=60°，△BCD是等边三角形，得BC=BD=½AB。 ### 14. 构造直角三角形（适用“需用HL判定全等/勾股定理”） - **适用场景**：    ① 证两个直角三角形全等，缺“斜边或直角边”（需构造直角）；    ② 已知线段长度，需用勾股定理求未知线段（如“求AB长度”，可作AC⊥BC，用勾股定理）。   - **作法口诀**：“遇HL、遇勾股，构造直角是出路”。   - **例题思路**：    已知AB=CD，AD=BC，证∠A=∠C → 连BD（构造两个直角三角形，若直接证△ABD≌△CDB用SSS更简，但若∠A是直角，可作DE⊥AB、BF⊥CD，用HL证Rt△ABF≌Rt△CDE）。 ### 15. 遇30°角作对边（适用“直角三角形+30°角，证线段倍分”） - **适用场景**：    ① 已知直角三角形中含30°角（如∠A=30°，∠C=90°），需证“30°角对边=½斜边”；    ② 证线段倍分关系（如“证BC=½AB”）。   - **作法口诀**：“三十度角对边短，作边等于对边，构造等腰”。   - **例题思路**：    已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，证BC=½AB → 在AB上取BD=BC，连CD，得△BCD是等腰（BD=BC），又∠B=60°，故△BCD是等边三角形，得CD=BC，∠BCD=60°，∠ACD=30°=∠A，得CD=AD，故AB=AD+BD=CD+BC=2BC，即BC=½AB。 ## 五、多边形与线段关系辅助线（4个）—— 转化为“三角形问题” ### 16. 多边形作对角线（适用“求多边形内角和、证线段关系”） - **适用场景**：    ① 求n边形内角和（作对角线将多边形分成n-2个三角形，内角和=(n-2)×180°）；    ② 证四边形中线段关系（如“证AB+CD=AD+BC”，作对角线AC，转化为两个三角形）。   - **作法口诀**：“多边形，求内角，作对角线分三角；四边形，证线段，连对角线找全等”。   - **例题思路**：    已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，证ABCD是平行四边形 → 连AC（对角线），证△ABC≌△CDA（SSS），得∠BAC=∠DCA（AB∥CD）、∠ACB=∠CAD（AD∥BC），故ABCD是平行四边形。 ### 17. 线段和差作平移（适用“证线段和差，且线段不共线”） - **适用场景**：    ① 证“AB+CD=EF”，且AB、CD不共线（需平移一条线段，使它们共线）；    ② 证线段平行且相等（如“证AB∥CD且AB=CD”）。   - **作法口诀**：“线段不共线，平移凑共线，和差易相见”。   - **例题思路**：    已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，证AC=BD → 平移AB至DE（使D与A重合，E在BC延长线上），得DE=AB=CD，△CDE是等腰，∠DEC=∠DCE；又AD∥BC，AB∥DE，故四边形ABED是平行四边形，得AD=BE，∠ABC=∠DEC=∠DCE，再证△ABC≌△DCB（SAS），得AC=BD。 ### 18. 轴对称连对称点（适用“轴对称图形，证线段/角相等”） - **适用场景**：    ① 已知图形是轴对称图形（如等腰三角形、矩形），需用“对称轴垂直平分对称点连线”；    ② 证线段相等（如“证PA=PB”，P在AB的对称轴上）。   - **作法口诀**：“轴对称，找对称点，连线被轴垂直分”。   - **例题思路**：    已知△ABC是轴对称图形，对称轴是AD，证BD=CD → 连B、C（对称点），由轴对称性质得AD垂直平分BC，故BD=CD。 ### 19. 含公共端点线段作旋转（适用“等腰直角/等边三角形，证线段垂直”） - **适用场景**：    ① 已知等腰直角三角形（如△ABC，AC=BC，∠ACB=90°），需证“AD⊥BE”（D、E为动点）；    ② 证线段相等（如“证AD=BE”）。   - **作法口诀**：“公共端点，等线段，旋转一定角度（90°/60°），全等立现”。   - **例题思路**：    已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB上一点，将CD绕C顺时针转90°得CE，证AD=BE且AD⊥BE → 由旋转得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，故∠ACD=∠BCE；证△ACD≌△BCE（SAS：AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE），得AD=BE、∠CAD=∠CBE；又∠CAD+∠ABD=90°，故∠CBE+∠ABD=90°，得AD⊥BE。 ## 辅助线核心思路总结（避免死记硬背） 1. **缺什么补什么**：缺直角补高，缺全等条件补公共边/角，缺中点补中线/中位线；   2. **抓“关键词”对应作法**：     - 见“中线/中点”→ 倍长中线、作中位线；     - 见“角平分线”→ 作垂线、截等线段、加平行线；     - 见“线段和差”→ 截长补短；     - 见“直角/等腰”→ 用三线合一、斜边中线、30°角性质；   3. **复杂图形拆简单**：多边形拆成三角形，不规则图形补成规则图形（如梯形补成平行四边形+三角形）。 建议结合课本例题和月考真题，每类辅助线练2-3道题，重点总结“从题目条件到辅助线作法的推导逻辑”，而非单纯记作法！